Integritetsområde

Ett integritetsområde är inom ringteorin en kommutativ ring, som saknar nolldelare. Enligt vissa författare fordras dessutom att ringen har en enhet för att få benämnas integritetsområde. En ring, som uppfyller det senare villkoret, kallas även för en heltalsring. Ett ändligt integritetsområde är en kropp.

Definitioner

Om (R,·,+) är en kommutativ ring med enhet är den ett integritetsområde om något av följande ekvivalenta villkor är uppfyll:

R saknar nolldelare.
De multiplikativa annulleringslagarna gäller: Om a ≠ 0 följer av ab=ac, att b=c.
Nollidealet {0} är ett primideal.

Exempel

De jämna heltalen 2Z = {...-2, 0, 2, 4,...} är, enligt den svagare definitionen ovan, ett integritetsområde.
Heltalen Z är, även enligt den starkare definitionen ovan, ett integritetsområde.
En kropp är ett integritetsområde.
En polynomring är ett integritetsområde om den är definierad över ett integritetsområde. Exempelvis är $\mathbb {Z}$ , ringen av alla polynom i en variabel med heltalskoefficienter ett integritetsområde.
Om U är en sammanhängande öppen mängd i det komplexa talplanet så är ringen av alla analytiska funktioner $f:U\to \mathbb {C}$ ett integritetsområde.

Motexempel

För $n\geq 2$ är ringen av alla n×n-matriser inte något integritetsområde.

Egenskaper

Om R är ett integritetsområde, så finns (upp till isomorfi) en minsta kropp S som innehåller R som delring. Kroppen S kallas R:s fraktionskropp och består av element $ab^{-1}$ där $a,b\in R$ och $b\neq 0$ . Exempelvis är fraktionskroppen till heltalen $\mathbb {Z}$ de rationella talen $\mathbb {Q}$ .
Ett integritetsområdes karakteristik kan endast vara 0 eller ett primtal.
Om R är en kommutativ ring med ett ideal P så är kvotringen R/P ett integritetsområde om och endast om P är ett primideal.

Se även

Referenser

Noter

^ I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.
^ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag Berlin 1950.
^ Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
^ J.B. Fraleigh, A First Course in abstract Algebra, Addison-Wesley New York 1976.

Källor

Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1. D. van Nostrand, Princeton 1958.
N. Bourbaki, Élément de Mathématique, Algèbre, Masson Paris 1963.
Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4

[1] I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.

[2] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag Berlin 1950.

[3] Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.

[4] J.B. Fraleigh, A First Course in abstract Algebra, Addison-Wesley New York 1976.