I den här artikeln kommer vi att utforska den alltid fascinerande och mångfacetterade världen av Kropp (algebra). Genom historien har Kropp (algebra) väckt intresse och nyfikenhet hos miljontals människor runt om i världen, vare sig det beror på dess inverkan på samhället, dess relevans inom det vetenskapliga området eller dess inflytande på populärkulturen. Genom en detaljerad och uttömmande analys kommer vi att ta upp olika aspekter relaterade till Kropp (algebra), från dess ursprung och utveckling till dess implikationer i dagens värld. Likaså kommer vi att fördjupa oss i de debatter och diskussioner som har uppstått kring Kropp (algebra), och undersöka dess roll i det samtida sammanhanget. Den här artikeln syftar till att erbjuda en heltäckande och komplett vision av Kropp (algebra), och bli en värdefull informationskälla för alla som är intresserade av att förstå detta ämne på djupet.
Inom högre algebra är en kropp (en. field, ty. Körper) en typ av algebraisk struktur vars egenskaper liknar dem, som till exempel de komplexa och reella talen besitter med operationerna addition och multiplikation.
Närmare bestämt är en kropp en struktur bestående av en mängd element M samt två binära operationer, ' + ' och ' · ' som satisfierar villkoren[1]
En kropp är alltså en kommutativ ring, där dessutom alla element utom det additiva neutrala elementet har en multiplikativ invers. Dessa utgör då en multiplikativ grupp.
Om multiplikationen inte är kommutativ, så kallas den resulterande strukturen skevkropp. Klassen av kroppar och skevkroppar kallas gemensamt för divisionsring.
Kroppar uppkommer naturligt i många delar av matematiken och utgör en formalism som möjliggör formuleringen av exempelvis linjär algebra och algebraisk geometri, så att dessa teorier blir giltiga i en mycket större generalitet.
En grundläggande invariant för en kropp är dess karakteristik. Karakteristiken för en kropp definieras som det minsta k så att en summa av k stycken element alltid blir noll. Om inget sådant k existerar sägs kroppen ha karakteristik 0.[2]
C, R och Q är alla exempel på kroppar av karakteristik noll. En ändlig kropp med p element, där p är ett primtal har karakteristik p. En kropp av karakteristik 0 har alltid en unik delkropp isomorf med Q och en kropp med karakteristik p har alltid en unik delkropp isomorf med Fq. Man säger att Q respektive Fq är primkroppar.[3]
Ett mått på hur mycket större en kropp är än sin primkropp är dess transcendensgrad. Transcendensgraden för en kropp k är storleken på en minimal mängd M sådan att varje annat element i k är algebraiskt över den delkropp som genereras av primkroppen för k tillsammans med M. Transcendensgraden för en kropp kan vara ändlig, som till exempel för kroppen Q(t), eller oändlig som till exempel för C.
Givet en kropp k och ett polynom f(t) med koeffecienter i k går det alltid att bilda en kropp K som genereras av k samt en rot till f(t). K kallas då algebraisk över k. En kropp k sådan att alla rötter till alla polynom över k redan finns i k kallas algebraiskt sluten. Ett exempel på en algebraiskt sluten kropp är C. Varje kropp kan inbäddas i en större kropp som är algebraiskt sluten, med hjälp av urvalsaxiomet.