Egenskaper hos måttintegral

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ vara ett måttrum, ${\displaystyle \int \,d\mu }$ vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner ${\displaystyle X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om ${\displaystyle f\leq g}$ är

${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu \,}$.

Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan ${\displaystyle af+bg\,}$ också integrerbar och

${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu \,}$

för alla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:

${\displaystyle \left|\int f\,d\mu \right|\leq \int |f|\,d\mu \,}$.

Additivitet för funktioner: om ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}\,}$ är integrerbara funktioner är

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{n}f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int f_{k}\,d\mu }$

Additivitet för mängder: om ${\displaystyle f\,}$ är mäbara funktionen och ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\,}$ är parvis disjunkta mätbara mängder är

${\displaystyle \int _{A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}}f\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int _{A_{k}}f\,d\mu }$

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

• Om ${\displaystyle \mu (A)=0\,}$ så är

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =0\,}$.

• Om ${\displaystyle f=g\,}$ µ-nästan överallt så är

${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu \,}$.

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

${\displaystyle \int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }$,

där ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }\,}$ är integrerbara funktioner för alla ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, så att det finns

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}}$.

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om ${\displaystyle 0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots }$ så existerar gränsvärdet ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}}$ och

${\displaystyle \int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }$.

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion ${\displaystyle g}$ som är integrerbar så att ${\displaystyle |f_{i}|\leq g}$ för alla ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ nästan överallt och ${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}(x)}$ existerar så är

${\displaystyle \int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }$.

Begränsade konvergenssatsen: om ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ och ${\displaystyle |f_{i}|\leq C\,}$ för alla ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ var ${\displaystyle C<\infty }$ så är

${\displaystyle \int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu .}$

Fatous lemma: om ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }\,}$ är mätbara funktioner så gäller att

${\displaystyle \int \liminf _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu \leq \liminf _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }$

och

${\displaystyle \int \limsup _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu \geq \limsup _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }$.

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om ${\displaystyle f\geq 0\,}$ och ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ så är

${\displaystyle \int _{\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }\int _{A_{i}}f\,d\mu .}$

Detta betyder också att funktionen ${\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\,}$, där ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om ${\displaystyle f_{k}\geq 0}$ är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är

${\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu .}$

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.

• Måttintegral

• G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)