Täthetsfunktion

Inom sannolikhetsteori ger täthetsfunktionen en bild av hur sannolika olika resultat är i förhållande till varandra till skillnad från fördelningsfunktionen som ger sannolikheten att variabeln antar värden som "ligger till vänster" om en given punkt ${\displaystyle x}$ på talaxeln, dvs. inom intervallet ${\displaystyle }$.

Ett annat vanligt namn på täthetsfunktionen är frekvensfunktion, men skall man vara precis gör man distinktionen frekvensfunktion eller sannolikhetsfunktion för diskreta stokastiska variabler och täthetsfunktion för kontinuerliga.

Givet en kontinuerlig slumpvariabel (stokastisk variabel) ${\displaystyle X}$ beskriver täthetsfunktionen ${\displaystyle f(x)}$ sannolikheten att variabeln ska anta värden mellan ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ med hjälp av formeln

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f(u)\,du}$

Om ${\displaystyle F(x)}$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för ${\displaystyle X}$ så erhålles den ur

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,du}$

och om ${\displaystyle f(x)}$ är kontinuerlig i ${\displaystyle x}$ så är

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)}$.

Givet en diskret stokastisk variabel ${\displaystyle X}$ ges frekvensfunktionen av

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\Pr(X=x_{i})\,\delta (x-x_{i}),}$

För den stokastiska variabeln ${\displaystyle X}$ kan man associera en täthetsfunktion ${\displaystyle f(x)}$ som uppfyller villkoren:

1. Icke-negativitet för alla ${\displaystyle x}$,
2. Dess integral över alla x är lika med 1.

En täthetsfunktion som inte uppfyller det sista villkoret kallas onormerad.

• sannolikhetsfördelning
• stokastisk variabel
• matematisk statistik
• normalfördelning