Kovariant vektor
I den här artikeln ska vi fördjupa oss i ämnet Kovariant vektor, som har en betydande inverkan på olika områden i samhället. Kovariant vektor är ett ämne som har väckt stort intresse de senaste åren, eftersom dess relevans inte är begränsad till ett enskilt område, utan har återverkningar på politik, ekonomi, kultur, vetenskap och teknik. Genom en djupgående analys kommer vi att utforska de olika aspekterna av Kovariant vektor och hur det har format världen vi lever i. Från dess inverkan på vardagen till dess inflytande på historiska händelser är Kovariant vektor ett ämne som förtjänar att studeras på djupet för att förstå dess verkliga omfattning.
Kovariant vektor kallas inom allmän relativitetsteori en vektor med nedre index, .
En kovariant vektor transformeras genom multiplikation med ett värde som är omvänt proportionellt mot skalan.
I ett kartesiskt koordinatsystem (3-dimensionellt, rätlinjigt och ortogonalt) sammanfaller x-axeln med y-z-planets normal, y-axeln med x-z-planets normal och z-axeln med x-y-planets normal.
För att entydigt beskriva en vektor i ett kartesiskt system kan vektorn projiceras på axlarna och axelprojektionernas storlekar anges. Projektionerna på plannormalerna ger samma resultat. Men för icke-ortogonala koordinatsystem sammanfaller inte axlarna med plannormalerna. En vektor får då olika komponenter om projektion sker på axlarna eller på plannormalerna.
Axelkomponenterna kallas kontravarianta och plannormalkomponenterna kallas kovarianta.
För att skilja mellan kontravarianta och kovarianta komponenter används superscript notation för kontravarianta komponenter (index placerat upptill på liknande sätt som exponenter brukar placeras) och för kovarianta komponenter används subscript (index placerat nedtill).
En vektor som beskriver en fysikalisk storhet är oberoende av hur koordinatsystemet väljs. Men om koordinatsystemet byts, ändras dess komponenter. Eftersom vektorn är entydigt bestämd av sina komponenter, går det att finna målsystemets komponenter genom att projicera utgångssystemets komponenter på axlar eller plannormaler och för varje målsystemkomponent summera bidraget från alla utgångssystemkomponenter.
Om utgångssystemets x-axel (x) bildar vinkeln α med målsystemets x-axel (x') projicerar vi vektorns x-komposant genom att multiplicera med cos α (riktningscosin). Om det är fråga om kartesiska koordinatsystem gäller
Man kan alltså utgå från utgångssystemet och bestämma cos α genom att se hur en förflyttning i x-led projiceras på målsystemets x-axel eller utgå från målsystemet och se resultatet i utgångssystemet. I båda fallen får man samma värde på cos α.
Men vid skaländring och för icke-ortogonala system får man olika resultat. Om δx'/δx används kallas transformationen kontravariant och om δx/δx' används kallas den kovariant.
Se även
Källa
- M R Spiegel Vector Analysis Schaum's outline series McGraw-Hill Book Company 1959